多重積分による体積の求め方.

　複数回積分すると、複雑な面積を求められたり、体積が求められたりする.今回は、楕円体の体積について論じていきたいと思う.

仮に、領域D:x²/a²+y²/b²+z²/c²≦1　（a,b,c＞0）とき、

楕円体の体積Vは厳密には、V=lim[n→∞]��[k=0→n]f(x_k,y_k)・ΔS(x_k,y_k)と定義され、

∫∫∫_Df　dxdydz (但し、f=1)　のように簡略化した形で整理することができる.

ここで、球座標変換を行うことにより（xyz空間→rθφ空間）

　　　　x=arsinθcosφ
　　　　y=brsinθsinφ
　　　　z=crcosθ

と変換できる.

さきに誤差修正のためのヤコビアン行列式Jを求めておくとする.

ヤコビアン行列式J=det(a₁,a₂,a₃)と表され、

各々の成分は
　　　a₁=^t(∂x/∂r,∂x/∂θ,∂x/∂φ)
　　　a₂=^t(∂y/∂r,∂y/∂θ,∂y/∂φ)
　　　a₃=^t(∂z/∂r,∂z/∂θ,∂z/∂φ)
だから、整理すると
　　　J=abcr²sinθ
が得られる.

よって、領域D':r²≦1における楕円体の体積Vは
　V=∫∫∫_D'abcr²sinθdrdθdφ
　　=abc(∫_r=0¹　r²dr) (∫_θ=0^π　sinθdθ)(∫_φ=0^2π　dφ)=abc×(1/3)×2×2π
　　=(4/3)πabc.

ここで、b→a,c→aに変換すると、半径aの球の体積なることがわかるだろう.

以上で、多重積分による体積の求め方の一例を終える.

※微分積分学の問題なら、何なりと質問してくださって結構です.答えられる範囲で答えます^^;