クライン・ゴルドン方程式 - 超弦理論解明への道

※今日の理論は難解なので、物理嫌いな人は無視しちゃって下さい＾＾

この方程式は相対論的波動方程式と呼ばれ、特殊相対論と量子論を統合させた理論であり、主にスピン０のボゾンを記述する方程式です。

では、早速ですがこの方程式の導出を試みようと思います。

$i\hbar\frac{\partial{\psi(x,y,z,t)}}{\partial{t}}=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{\partial^2}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z}^2})\psi(x,y,z,t)$

ここで、４元運動量を量子化すると

$p^{\mu}=(\frac{E}{c},p_x,p_y,p_z)\right(i\hbar\frac{\partial}{\partial(ct)},\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial{x}},\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial{y}},\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial{z}})$

となり、整理すれば

$p^{\mu}=i\hbar(\frac{\partial}{\partial(ct)},-\frac{\partial}{\partial{x}},-\frac{\partial}{\partial{y}},-\frac{\partial}{\partial{z}})$

となりますよね。

さて、

$\frac{\partial}{\partial{x_{\mu}}}=(\frac{\partial}{\partial(ct)},-\frac{\partial}{\partial{x}},-\frac{\partial}{\partial{y}},-\frac{\partial}{\partial{z}})\equiv{\partial{\mu}}$

と定義すれば、反変ベクトルは

$p^{\mu}{\right}i\hbar{\partial^{\mu}}$

と表現され、一方で、

$\partial_{\mu}=g_{\mu\nu}\partial^{\nu}=g_{\mu\nu}\frac{\partial}{\partial{x_{\nu}}}=\frac{\partial}{\partial{x^{\mu}}}$

（ここでは勿論アインシュタインの縮約則が用いられていますので注意して下さい。）

したがって、共変ベクトルの方は

$p_{\mu}{\right}i\hbar{\partial_{\mu}}$

となります。

故に、

$p^{\mu}p_{\mu}-(mc)^2=(\frac{E}{c})^2-{p_x}^2-{p_y}^2-{p_z}^2-(mc)^2=0$

から

$-\hbar^2{\partial^{\mu}}{\partial_{\mu}}\psi-(mc)^2\psi=0$

なので、クライン・ゴルドン方程式は以下のようになります＾＾

$-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}{\psi}+(\frac{\partial^2}{\partial{x}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{y}^2}+\frac{\partial^2}{\partial{z}^2})\psi=(\frac{mc}{\hbar})^2\psi$

最初に述べたようにこの方程式はクオークやレプトンのようなフェルミオン（スピンが２分の１）を記述する方程式ではないので、完全ではありません。

より完全な方程式を期待するならばディラック方程式を導出する必要があるそうです。

そのお話は、またいつかしますね。