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４次元時空での４次元積分は、局所ローレンツ系では微小な４次元領域の体積要素は $dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ なので、局所ローレンツ系{x^α}から一般の座標系{x^α'}への座標変換は

$\Bigint f(x^\alpha)dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}=\Bigint f(x^{{\alpha}'})|J|dx^{0'}dx^{1'}dx^{2'}dx^{3'}$

と表されます。

$\Lambda^{\alpha}_{\beta}\equiv\Lambda$

と定義すれば

$J=det \Lambda$

となります。

一方、計量テンソル $g_{\alpha'\beta'}$ は

$g_{\alpha'\beta'}=\Lambda^{\mu}_{\alpha'}g_{\mu\nu}\Lambda^{\nu}_{\beta'}$

ここで

$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$

だから、行列式を計算すると

$J^2=-g,g=det{g_{\alpha'\beta'}}$

となります。ただし、 $\eta_{\mu\nu}$ は

$\eta_{\mu\nu}=$\array{\\{-1}\quad{0}\quad{0}\quad{0}\\{0}\quad{\;1}\quad{0}\quad{0}\\{0}\quad{\;0}\quad{1}\quad{0}\\{0}\quad{\;0}\quad{0}\quad{1}$$

です。

すると、以下の４次元積分が導出できます。

$\Bigint f(x^\alpha)dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}=\Bigint f(x^\alpha)\sqrt{-g}dx^{0'}dx^{1'}dx^{2'}dx^{3'}$

以下、 $d^{4}x\equiv dx^{0}dx^{1}dx^{2}dx^{3}$ とすると４次積分から３次積分へのガウスの定理は以下のように書き下せます。

$\int V^{\alpha}_{;\alpha}\sqrt{-g}d^{4}x=\int V^{\alpha}n_{\alpha}\sqrt{-g}d^{3}S$

ここで、d³Sは４次元時空中の３次元超曲面の面積要素で、n_αはその超曲面上の外向きの単位法線ベクトルを表します。

因みに、ベクトル解析で学ぶガウスの定理は、３次元の体積積分から２次元の面積積分への変換公式として知られていましたが、上記は４次元バージョンです。

一般化すれば何次元でも可能ですが、面倒なので書くのはやめておきます＾＾；

※一般化したのを覚えておけば、ベクトル発散定理やガウスの発散定理、球座標系のdiv等は覚える必要はなく、単純に導出できる点がこの積分の威力だと思います。

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