コマネチ大学数学科で出題された問題

『千本の棒を用いて正四面体を幾つかつくり、これらを積み重ねていくと最高何段の正四面体のタワーができるか』という問題です。

ちなみに棒はすべて使う必要はありません。

一応、やってみましたので、解答が気になる方はご覧下さい＾＾

解）
n段目で最高の段数になるとすると

１段目で使用する正四面体は１つ、２段目は３つ、３段目は６つですから

$1,3,6,...$

という規則性がみえてきます。これを数列{a_n}とし、以下のように数列{b_n}を定義する。

$b_n=a_{n+1}-a_n$

この数列は

$b_{n}=n+1$

ですので

$a_{n+1}-a_n=n+1$

となります。
この数列を繰り返し用いると

$a_n=n+a_{n-1}=...=\frac{1}{2}n(n+1)$

と変形できます。

そして、

$6*\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2}k(k+1)<1000$

を満たす最大のnを探せばいいことになりますね。

これを整理すれば

$n(n+1)(n+2)<1000$

となりますから

$n=9$

のとき、この不等式を満たす最大のnであることが容易にわかります。

したがって、９段目のときが最大のタワーをつくることになりますね。

ちなみにあまりは１０本です。

$Q.E.D$