有名な積分 - 超弦理論解明への道

プランクの黒体放射の公式でお馴染みですがその中に以下の積分が出てきます。

$\int^{\infty}_{0}\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{\pi^4}{15}$

これはΓ函数とフーリエ級数を用いれば解けますので、導出過程はここでは省略しますね＾＾
（こういう積分があるんだな〜と思って頂くだけでもいいです）

この積分はDebyeの比熱理論でも出てきますが、本質はプランク黒体放射の公式と全く同等だと思います。

Debyeのモデルは、格子振動を量子化した格子波を導入し格子波は１次元振動子の集まりと考え、Einsteinの比熱理論との相違点は、振動数を一定とせず波数の関数としている点です。

Debyeの比熱理論とEinsteinの比熱理論とを比較してどちらが欠陥品かといえば、Einsteinの方であり、極低温状態のときに理論が実験結果と一致しません。

これで何がわかるかというと、温度に対する定積モル比熱 $C_v$ がわかります。

定積モル比熱といえば

$C_v=\frac{dU}{dT}|_{v=const}$

ですから、つまり、温度変化に対するエネルギー変化を表すものです。

結果として何がわかるのか...？

それは、エネルギーＵと温度Ｔの関係がわかれば『比熱』がわかってしまうということですね＾＾

主題とは若干逸れた話になりましたが、上記のような積分を実行することでこのような理論の確認を行えるようになりますよね。

これは数学の重大性を感じさせられる理論だったため、あまり数学を馬鹿にはできないなと思わせられましたｗ
（実は最近疑心暗鬼になってたんですよ〜。）