誰もが見慣れた数式（コーヒーブレイクの意を込めて＾＾）

突然ですが、以下の問題が出されたとします。

方程式48x+539y=77を満たす実数解x,yをすべて求めなさい。

これは、非常に簡単で中学生の方も少し考えれば、すぐにできるかと思います。

答えは、
y=t(t:任意の実数)とすれば、x=(77-539t)/48です。

つまり、実数解は(x,y)=((77-539t)/48,t)となることがわかるかと思います。

そこで、次に問題の一部だけ修正するとどうなるでしょうか？

方程式48x+539y=77を満たす整数解x,yをすべて求めなさい。

『ん…』と、ちょっと考えてしまうでしょう＾＾

これは少し工夫して解く必要があります。与式は

　　48(x+77)=-539(y-7)

と変形でき、『48と539は互いに素な関係』にあるので

　　x+77=539t(t:任意の整数）
　　-(y-7)=48t

となりますから

よって、求める整数解は(x,y)=(539t-77,7-48t)となります。

どうでしょうか？さっきより難しくなりましたね。

ほんの少し問題文を変えるだけで、急にレベルが上がることが分っていただけたでしょうか。

さて、更に条件を束縛してみましょう。

方程式48x+539y=77を満たす素数解x,yをすべて求めなさい。

これは各自考えてみて下さい。結構勉強になりますよ＾＾；
（因みにこの問題がきちっと解ければ、未解決問題を解いたことと等価と判断されます）