Maxwell方程式のガリレイ変換性 - 超弦理論解明への道

電磁気現象を支配するのがマクスウェルが提唱した４つの方程式、『Maxwell方程式』です。今日は、昨日の続きとして、ガリレイ変換がマクスウェルの理論を満足しないことをみてみましょう＾＾

真空中（電荷密度ρ=0,電流密度j=0）のMaxwellの方程式は

$rotB=\frac{1}{c^2}\frac{\partial{E}}{\partial{t}}$ （アンペールの法則）
$rotE=-\frac{\partial{B}}{\partial{t}}$ （ファラデーの電磁誘導の法則）
$divB=0$ （磁場Hに関するガウスの法則）
$divE=0$ （電場Eに関するガウスの法則）

の４本で表されます。(光速cはc=1/√(με))

ここで、①の両辺にrotを掛けると

$rot(rotB)=\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial{t}}(rotE)$ …⑤

ベクトル解析における有名な公式

$rot(rotA)=grad(divA)-\Delta{A}$

を用いると

$rot(rotB)=grad(divB)-\Delta{B}=-\Delta{B}$

なので

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial}^2B}{\partial{t^2}}-\Delta{B}=0$
$(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}-\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}-\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}-\frac{\partial^2}{\partial{z^2}})B=0$

これが、『波動方程式』と呼ばれるものです。

同様にすると

$(\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial{t^2}}-\frac{\partial^2}{\partial{x^2}}-\frac{\partial^2}{\partial{y^2}}-\frac{\partial^2}{\partial{z^2}})E=0$

が得られます。

最後に、最初の波動方程式をS系とS'系にし、それぞれが同じ波動方程式の形に帰着できるかどうかを調べればいいことになります。

計算は面倒なので後は書きませんが、正攻法でせめればS’系の波動方程式に余分な項が含まれてきますので、ガリレイ変換性は成り立たないことが分ります。

では、『電磁気学』をも支配する原理はどのようなものであるのでしょうか。

可能性として、

①マクスウェル理論が間違っている。
②マクスウェル理論とニュートン力学は共に正しく、ガリレイの相対性原理が間違っている。
③マクスウェル理論は正しいが、ガリレイ変換こそ変更を必要とする。ただし、必然的にニュートン力学は変更を迫られる。

があります。

③の可能性こそが、後にアインシュタインが考える特殊相対性理論に繋がる考え方です。

※では今日は、この辺で…＾＾