集合へのプロローグ.

　トポロジーを学ぶための前段階として、代数系や集合、入門的な位相などの知識を得ている事が前提条件となる.そこで、一見「あたりまえ」な集合の定理を、厳密な証明で紐解いていこうかと思う.

定義
まず、集合ＡとＢについて

x⊆Ａ　⇒ x⊆Ｂ　が成り立つとき

つまり、

ｘがＡの元ならばｘはＢの元でもある

とき

Ａ⊆Ｂ　または　Ｂ⊇Ａ

と書き、

　ＡはＢに含まれる　または　ＢはＡに含む

という

これを数学的に明記するなら

Ａ⊆Ｂ⇔[x⊆Ａ⇒ｘ⊆Ｂ]　（定義）

となる.これは直感的にもわかり、理解しやすいかと思う.

最後に例によって例の如く簡単な問題をやっておこう！(-.-

問.Ｅを全体の集合、φを空集合、Ｅ⊇Ａとするとき、以下を証明せよ.

　　Ａ∪φ＝Ａ

解）

Ａ∪φ＝^def.{x|x∈Ａ　or　x∈φ}

と表されるので、

φは元をもたないので、

　　　＝{x|x∈Ａ}
　　　＝Ａ

となる.以上で以って与式は証明された.

集合のお話としてはこれはかなり初歩的なレベルなので、「当然ジャン！」って思う方も少なからずいるだろうかと思う.次回の特集：集合では具体例も交えながら、そして、空想の産物とならぬよう、わかりやすく理論展開をしていきたい^^