２階の非斉次方程式.

　前回証明したように、２階の斉次方程式は容易に基本系が求まる一方で、今回の２階の非斉次方程式は少し厄介である.
　非斉次方程式　d²y/dx²+p(dy/dx)+qy=r(x) (p,q:実数)
の一般解を求めたい訳だが、代入法より手間のかかる一般的な手法で解きたいと思う.

なるべく数式は最小限に留めて簡単に説明したい^^

この微分方程式の解は、斉次方程式の一般解と特殊解で表されるので、

　　　y=(斉次方程式の一般解)+(もとの微分方程式の特殊解)
　　　　=C₁y₁(x)+C₂y₂(x)+Y(x)

(但し、C₁,C₂は定数、Y(x)は特殊解とする)

斉次方程式の一般解は容易に求められるので、特殊解Y(x)の求め方をロンスキアンを用いて行いたい.

ラグランジュの定数変化法を用いて

　　　y=u₁(x)y₁(x)+u₂(x)y₂(x)…①

とし(u(x)は未知関数)、

特殊解は１つだけ必要なわけだから、２つの関数u₁,u₂は必要なく、それらの間に条件を一つおくことができる.

　　　(du₁(x)/dx)y₁(x)+(du₂(x)/dx)y₂(x)=0…②

①、②を微分しながら計算を進めると、

連立方程式が２つ出てくる.

この連立方程式を解くとu'₁(x),u'₂(x)が求まり、u₁(x),u₂(x)が決定される.

以上より、特殊解y(=Y(x))は導かれることになる.