Maclaurin展開.

　マクローリン展開とは、容易な言葉で述べれば、『函数を級数に近似すること』である.まず、手始めにテイラー展開の定義を以下に記しておくが、これはマクローリン展開を導出するための準備である.

[テイラー展開の定義]

函数f(x)がｎ回微分可能で、x=aの近傍で考えるならテイラー展開は f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{1/(2!)}f"(a)(x-a)²+…+{1/(n!)}f⁽ⁿ⁾(a)(x-a)ⁿ+R_n+1(x) 但し、近似誤差R_n+1(x)=[1/{(n+1)!}]f⁽ⁿ⁺¹⁾(a+θ(x-a))(x-a)ⁿ⁺¹ （0＜θ＜1）

と定義される.
さて、ここでマクローリン展開とはx=0のまわりの展開式である.

つまり、

f(x)=f(0)+f'(0)x+{1/(2!)}f"(0)x²+…+{1/(n!)}f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ+R_n+1(x) 但し、近似誤差R_n+1(x)=[1/{(n+1)!}]f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx)xⁿ⁺¹ （0＜θ＜1）

と定義される.

より理解を深めるために簡単な問題を一問解いておこう.

[例題]函数f(x)=1/(1-x)をマクローリン展開せよ.

この函数のn階微分は、f⁽ⁿ⁾(x)=n!/{(1-x)ⁿ⁺¹}となり

x=0のとき、f⁽ⁿ⁾(0)=n!である.

これをマクローリンの展開式に代入すると、

f(x)=1/(1-x)=1+x+x²+…+xⁿ+xⁿ⁺¹/{(1-θx)ⁿ⁺²} (但し、0＜θ＜1)

となり、これが求めたい答えである.

厳密な証明ではないが、記載したところで価値が見出せないため、ここは潔く慎んでおくｗ