函数の極限に対するε-δ法
数列の極限と同様に、函数の極限を数学的に厳密に表現するにはε-δ法を使うのが有効である.この場合、自然数nの代わりとして連続的に変化する実数xを使うので、極限の定義は以下のようになる.
任意の正数εに対して,ある正数δが存在し0＜|x-a|＜δならば|f(x)-b|＜εとなるとき,f(x)は収束して極限値bをもつ. 因みに論理記号で記すと, ∀ε＞0,∃δ＞0 s.t. 0＜|x-a|＜δ ⇒ |f(x)-b|＜ε となる.
さて、一つ例題を解いてみよう.
[例題]ε-δ法を用いて,lim[x→1]x2=1を厳密に示せ.
まず、注目すべきポイントは、『任意の正数εに対して』とあるから、どんなに小さなεを考えても、|f(x)-b|＜εが成り立つδをとることができるということで、
0＜|x-1|＜δのとき、
0＜|x2-1|=|x-1||x-1+2|≦|x-1|(|x-1|+2)＜δ2+2δ
となるから、εを与えたとき、δ2+2δ＜εを満たすようなδがとれればよいことになる.この不等式はδに対して、δ＜√(1+ε)-1を与え、確かにそれを満たすδを選べるので、lim[x→1]x2=1は成り立つ.
