回転群とローレンツ群

それではお待たせしました、群論講義といきますね＾＾

まずは、群というものを定義します。

群Gとは、その元g∈Gに対して次の性質を満たす。
演算"×"が定義されている集合
(鄯)Gの任意の２元g₁,g₂に対して演算g₁×g₂が定義され、それもまたGに属する。

(鄱)この演算は結合法則を満たす
　　　(g₁×g₂)×g₃=g₁×(g₂×g₃)

(鄴)単位元eと呼ばれるGの元が唯一つ存在し、任意のg∈Gに対して、
　　　g×e=e×g=gが成立する。

(鄽)任意のg∈Gに対して、その逆元g^-1が存在し、
　　　g×g^-1=g^-1×g=eが成り立つ。

これらを満たすものを『群』と定義し、以下、物理学で用いられる『回転群』、『ローレンツ群』についての簡単な説明をします。

回転群とは、一言でいうなら、『ベクトルの内積を不変に保つもの』を表しています。

一方、ローレンツ群とは『ローレンツ計量ηを不変に保つもの』です。

このローレンツ群からはローレンツ変換が簡単に導出され、アインシュタインが行った導出よりもはるかに容易にできます。

非常に簡単な説明ですが以上で終えます。