近似式（第二段） - 超弦理論解明への道

$log_e(\frac{1+x}{1-x})\simeq2(x+\frac{1}{3}x^3)\;,\;|x|<1$

という近似式を以前紹介しましたが、これでは試験時に全然対応できないため、一般化した式を作成してみました。

$log_a(\frac{1+x}{1-x})\simeq{\frac{2}{log_e{a}}}(x+\frac{1}{3}x^3)\;,\;a>0\;,\;|x|<1$

これなら、関数電卓を所有していない人でも上記の式を利用するれば、すぐにほしい値が求まります。

ただ、xの値は|x|<1であることが望まれますが、xが１に近いようだと（x=9/10,99/100など）精度が全然違ってきて使えません。（xが2/3以下なら精度はある程度保たれている模様です）

そこで、今回試行錯誤のためにa=10のときの $log_{10}{2.33}$ の値を計算してみたいかと思います。

上式に代入すれば、log10の値が必要なので、このまま求めてみると

$x=\frac{9}{11}$ ですから、 $log_e{10}\simeq2((\frac{9}{11})+\frac{1}{3}(\frac{9}{11})^3)\simeq2.00$

一方

$log_e{10}=log_e{2}+log_e{5}$

と分解してから各々にテイラー展開を適応すれば、

$log_e{2}\simeq0.69\;{(x=\frac{1}{3})}\;,\;log_e{5}\simeq1.53\;{(x=\frac{2}{3})}$

つまり

$log_e{10}=2.22$

となるでしょうが、これは明らかに最初のアプローチでの答えと違っていますよね。（この程度の誤差を気にするかどうかが問題ですが...）

勿論、後者が近似的には真理値(=2.302)に近いので、これを採用すれば

$log_{10}({\frac{1+x}{1-x}})\simeq0.9(x+\frac{1}{3}x^3)$

となり、x=1.33/3.33≒0.4を代入すれば

$log_{10}{2.33}\simeq0.378$

が得られましたので正しい値0.37と比較すればほぼOKです。

以上の議論はあくまで応急処置程度として利用すべき価値のあるものなので、あまり期待できず、どうやら関数電卓を買う必要性があるかもって感じてます。

※もっと詳細に知りたい方は自然対数表を作ろうへ行ってみてください＾＾　