前回の記事『オームの法則』の続き

ラプラス変換の定義式は、このようになります。

$\mathcal{L}[f(t)]=F(s)=\int_{0}^\infty f(t)e^{-st}dt$

これを以前紹介したＲＬＣ回路の過渡現象を記述する方程式に適応すると

$v(t)=Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}{\Bigint}_{-\infty}^{t}i(t)dt$

が

$\mathcal{L}[v(t)]=\mathcal{L}[Ri(t)+L\frac{di(t)}{dt}+\frac{1}{C}{\Bigint}_{-\infty}^{t}i(t)dt]$

となり、ラプラス変換には線形性

$\mathcal{L}[af(t)+bg(t)]=a\mathcal{L}[f(t)]+b\mathcal{L}[g(t)]$

（重ね合わせ原理により証明できる）
がありますので

$\mathcal{L}[v(t)]=R\mathcal{L}[i(t)]+L\mathcal{L}[\frac{di(t)}{dt}]+\frac{1}{C}\mathcal{L}[{\Bigint}_{-\infty}^{t}i(t)dt]$

ここで、 $\mathcal{L}[v(t)]=V(s),\mathcal{L}[i(t)]=I(s)$ と $def$ すると、 $\frac{di(t)}{dt}$ , ${\Bigint}_{-\infty}^{t}i(t)dt$ に関するラプラス変換はそれぞれ以下のようになります。

$\mathcal{L}[\frac{di(t)}{dt}]=sI(s)-i(0)$

$\mathcal{L}[{\Bigint}_{-\infty}^{t}i(t)dt]=\mathcal{L}[{\Bigint}_{-\infty}^{0}i(t)dt]+\mathcal{L}[{\Bigint}_{0}^{t}i(t)dt]=\frac{i(0)}{s}+\frac{I(s)}{s}$

（これらはラプラス変換の定義に従って容易に導出可）
従って

$V(s)=RI(s)+LsI(s)-Li(0)+\frac{i(0)}{Cs}+\frac{I(s)}{Cs}$

となり

$V'(s)=V(s)+Li(0)-\frac{i(0)}{C(s)}$

と $def$ し、整理すれば

$G(s)=\frac{I(s)}{V'(s)}=\frac{1}{R+Ls+\frac{1}{Cs}}$

となります。
このG(s)は伝達関数と呼ばれます。

入力信号v(t)によって出力信号i(t)が変化しますが、伝達関数G(s)(正確にはインディシャル応答g(t)ですが)を媒介にしてi(t)が容易に求められるのがこのような方法です。

今は、具体的にv(t)を決定していないので、i(t)は求められませんが、一般化したi(t)を導出しようと思えばできます。

そこまで書くと莫大な長さになってしまうので、ここでは割愛させていただきますね＾＾