近似計算を行うとき

数学

関数電卓は非常に便利ですが、僕は殆ど使ったことがありません＾＾；

学生実験やレポート等で必要になってくることが、多々あるようですが、そういう場合は、気合で手短に導出して数値を代入すればいいのです。

これが、我流です！（まあ、余りに面倒だと友達に借りる場合もありますが...）

例えば、ln2(=log_{e}2)という値が必要だったとしますが、その場には関数電卓がなくどうしようもない状況を考えます。
（よくテストなどで起こり得るものですよね）

その時、近似式を使うのですが、覚えていない場合は、気合で一分で導出すべし！

f(x)=ln(1+x)とおき、x=0を中心として、Taylor展開すると

ln(1+x) \simeq x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3},1>|x|

ここで、x \rightar -xと変換した関数をg(x)とすれば

g(x)=ln(1-x) \simeq -x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3},1>|x|

このf(x),g(x)だとln1の近傍でしかこの展開公式は成り立たないため、以下のように変形します

ln\frac{1+x}{1-x} \simeq 2x+\frac{2}{3}x^3

とすれば、x>-1,x\neq~1の範囲でlnの値が求められますから、機能的には関数電卓に劣りません。

x=\frac{1}{3}を代入することで、ln2の近似値が求められますから、計算してみると

関数電卓を用いた場合は
    

        ln2 \simeq 0.693
    

ですが、上記の公式だと
    

        ln2 \simeq 0.691
    

になりました。

ほぼ一致しているので、これで問題ないだろうことがわかりますね＾＾