今日の一問

問.∫[0→∞](sinx/x)dxは収束することを示せ。です＾＾

《詳解大学院への数学より.(大阪府大院)》

解答は、今日中におこないますので...＾＾；
暇がある方はチャレンジしてみて下さい。
今回のはちょっと難しいかもしれませんが...。

※ヒント：コーシーの収束条件

↓：解答です！

∫[0→∞](sinx/x)dx=∫[0→1](sinx/x)dx+∫[1→∞](sinx/x)dx

閉区間[0,1]において、x≠0のときsin/x、x=0のとき1であり連続なので

∫[0→1](sinx/x)dxは存在する.

（|∫[0→1](sinx/x)dx|≦∫[0→1]{(1/x)/x}dx=一定.）

1＜a＜bのとき、∫[a→b](sinx/x)dx=[-cosx/x]_a^b-∫[a→b](cosx/x²)dx
　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=cosa/a-cosb/b-∫[a→b](cosx/x²)dx

　　∴|∫[a→b](sinx/x)dx|≦|cosa|/a+|cosb|/b+∫[a→b](|cosx|/x²)dx
　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　≦1/a+1/b+∫[a→b](1/x²)dx

　　　　　　　　　　　　　　　　　　=2/a

　　∴lim[a→∞]|∫[a→b](sinx/x)dx|→0（a＜b）

したがって、∫[1→∞](sinx/x)dxは収束する.

故に、∫[0→∞](sinx/x)dxは収束する□

今回の問題を解く鍵は何といって『コーシーの収束条件』です。

コーシーの収束条件とは

∫[c→∞]f(x)dx=lim[x→∞]∫[c→x]f(x)dxが存在することは、任意の正数εに対して、充分大きなa,bをとれば

∫[a→b]f(x)dx

＜εと同値なこと.

が成り立つようなものであります。

この収束条件の証明を書くと莫大な量になるため割愛させていただきます＾＾；

まあ、一言で言うなら収束条件をみてもらえばわかるかと思いますが、|∫[a→b]f(x)dx|＜εということはa→∞,b→∞(+1)（←こんな表記ありえませんがｗ）としたなら、その時のf(x)の積分は限りなくゼロに近いということだから、収束域に入っているといえるでしょう。