ふとおもったこと - 超弦理論解明への道

ふつう、nが自然数のとき

$\;\;\;n!$

の値は

$\;\;\;n!=n(n-1)\dots1$

と簡単に求められるだろう。

しかし、sが実数のとき

$\;\;\;s!$

を求めるのは高校の範囲ではちょっと苦しい。

なぜならば、ガンマ関数

$\;\;\;\Gamma(s)={\Bigint}_0^{\infty}x^{s-1}e^{-x}dx$

というものを導入しなければいけないから。

つまり、これを使えば

$\;\;\;e!\;,\;{\pi}!$

という不気味な値も近似的に求めることができるだろう。これはなんとも不思議。

さらに、複素数まで拡張したガンマ関数

$\;\;\;\Gamma(z)=\frac{e^{\gamma{z}}}{z}\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^{-1}e^{\frac{z}{n}}$

を用いれば

$\;\;\;i!\;\;(i=\sqrt{-1})$

というわけのわからない値を求めることができるのだろう。

ここで、γはオイラー定数のことで

$\gamma\;:=\;\lim_{n \rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n)\right)={\Bigint}_1^{\infty}\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{\frac{1}{x}}\right)dx=0.577\dots$

と表されます。

このような議論は一体どのようなことに応用されているのだろう...＾＾;すごく気になる。

そういえば、オイラーの公式

$\;\;\;e^{i\theta}=cos{\theta}+isin{\theta}$

は有名ですが、θ=πのとき

$\;\;\;e^{i\pi}=-1$

という数学的には美しい、自然対数e、虚数i、円周率πを関係付ける公式が導出されます。

そうすると

$\;\;\;e!\;,\;{\pi}!\;,\;i!$

を全て含んだ等式は得られるのだろうか...。数式が『キタなくなりそう』だから存在しないのかもしれないｗ