相対論的量子力学への誘い - 超弦理論解明への道

以前にも書きましたが、量子力学におけるシュレディンガー方程式は

$i{\hbar}\frac{\partial}{{\partial}t}|\psi(\mathbf{r},t)\rangle=\hat{H}|\psi(\mathbf{r},t)\rangle$

と書き記されます。

ここで、 $|\psi(\mathbf{r},t)\rangle$ は状態ベクトル、 $\hat{H}$ はハミルトン演算子を示します。

このシュレディンガー方程式は時間依存しますので

$|\psi(\mathbf{r},t)\rangle=e^{-\frac{iEt}{\hbar}}|\phi(\mathbf{r})\rangle$

を上の式に代入し整理すると

$\hat{H}|\phi(\mathbf{r})\rangle=E|\phi(\mathbf{r})\rangle$

となりますね。ここでEはエネルギー固有値を示します。

さて、非相対論ではエネルギーＥは

$E=\frac{p^2}{2m}+V(\mathbf{r})$

のように書かれ、これは我々がよく知っている運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和は保存されるというやつですね。

一方、相対論ではエネルギーＥは

$E=sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$

と表されます。

このエネルギーＥをシュレディンガー方程式に組み込むことで、相対論的な波動方程式、つまり、ディラック方程式が導出されることがわかるかと思います＾＾ディラック方程式はよく電子の相対論的な運動を記述する道具として用いられておりかなり有用なものだと思います。

今回はこれで終わりにしておきます。